导数的概念
在学习导数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。
例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，
，求质点在t0的瞬时速度？
我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量
，
这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为：
.
若质点是匀速运动的，则这就是在t0的瞬时速度；若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。
我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度，
即：质点在t0时的瞬时速度＝
为此就产生了导数的定义，如下：
导数的定义
设函数
在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量
，
若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。
记为：
还可记为：
，
函数
在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。
若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，
我们就称这个函数为原来函数的导函数。
注：导数也就是差商的极限
左、右导数
前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。
若极限
存在，我们就称它为函数在x=x0处的左导数。
若极限
存在，我们就称它为函数在x=x0处的右导数。
注：函数在x0处的左右导数存在且相等是函数在x0处的可导的充分必要条件
函数的微分
学习函数的微分之前，我们先来分析一个具体问题：
一块正方形金属薄片受温度变化的影响时，其边长由x0变到了x0+△x，则此薄片的面积改变了多少？
解答：设此薄片的边长为x，面积为A，则A是x的函数：
薄片受温度变化的影响面积的改变量，可以看成是当自变量x从x0取的增量△x时，函数A相应的增量△A，
即：
从上式我们可以看出，△A分成两部分，第一部分是△x的线性函数，即下图中红色部分；
第二部分即图中的黑色部分，
当△x→0时，它是△x的高阶无穷小，表示为： 
由此我们可以发现，如果边长变化的很小时，面积的改变量可以近似的用地一部分来代替。
下面我们给出微分的数学定义：
函数微分的定义
设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为
，其中A是不依赖于△x的常数，是△x的高阶无穷小，则称函数在点x0可微的。
叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，
即：
=
通过上面的学习我们知道：微分是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。
于是我们又得出：
当△x→0时，△y≈dy.
导数的记号为：
，
现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即：定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：
由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。
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