高等数学教学大纲（Ⅰ）
课程名称：高等数学／Calculus
学时/学分：180／10
先修课程：高中数学
适用专业：非数学类专业
教材、教学参考书：《微积分》 上海交通大学数学系编，2002年，上海交通大学出版社
一、本课程的性质和任务
《高等数学》课程是理工类高等院校非数学专业学生必修的一门重要基础理论课，是培养造就高层次专门人才所需数学素质的基本课程。
通过本课程的学习，使学生获得有关连续变量的数学基本概念、基本理论和基本运算方法，从而一方面为各种后继课程的学习奠定必要的数学基础；另一方面培养学生抽象思维、逻辑推理、空间想象的能力，尤其是运用数学知识解决来自实际中问题的能力。
二、本课程的教学内容和基本要求
1．函数、极限、连续
理解函数的概念；了解函数的单调、有界、周期和奇偶等特性的含义；了解反函数、复合函数和函数的概念；熟悉基本初等函数的性质与图形；会建立简单实际问题中的函数关系；了解各类极限的概念；了解极限与单侧极限的关系；掌握极限的性质和运算法则；掌握极限存在的准则(夹逼定理、单调有界极限存在定理)并会运用它们求极限；理解无穷小、无穷大的概念，会确定无穷小的阶和利用等价无穷小求极限；理解函数连续的概念，会判断间断点的类型；了解初等函数的连续性；知道闭区间上连续函数的性质并能应用于简单问题；演示与实验(一)。
2．一元函数微分学
理解导数和微分的概念；了解导数的几何意义和作为变化率的其他一些实例；了解函数的可导与连续之间的关系；了解高阶导数的概念；变化率司题和相关变化率；熟悉导数和微分的四则运算法则和复合运算的链法则；熟悉基本初等函数的导数公式表，能熟练求初等函数的一阶和二阶导数；会求隐函数和参数形式函数的一阶和二阶导数；演示与实验(二)，理解Rolle定理、Lagrange定理和Taylor定理，了解Cauchy定理，并会应用它们解决一些简单问题。掌握用导数判断(或求)函数的单调性、极值点和最值点的方法，掌握函数凸性的判断和图形拐点的求法，会求函数图形的渐近线，会描绘函数图形；掌握用L'Hospital法则求极限的方法；知道曲率和曲率半径的概念并会计算；知道利用导数和微分进行近似计算和求方程的近似根；演示与实验(三)。
3．一元函数积分学
了解定积分概念的实际背景，了解不定积分的概念；理解定积分和不定积分的性质；理解变上限积分的意义与性质；理解并熟悉Newton-Leibniz公式；掌握换元积分和分部积分法；知道有理函数、三角函数和简单无理函数积分的一般方法；了解广义积分的概念并能进行计算；了解定积分的近似计算方法；演示与实验(四)；掌握用定积分表达和计算一些几何向量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力和函数平均值等)和其他应用，并能解决一些实际问题。
4．常微分方程
了解微分方程的基本概念；会解一阶变量可分离方程、齐次方程、线性方程、Bernoulli方程，并能应用于解决一些实际问题。会通过降阶法解特殊的高阶方程；了解一般线性微分方程的特性和解集合的结构；掌握二阶常系数齐次方程的解法和某些二阶常系数非齐次方程(自由项为多项式、指数函数、正弦、余弦函数及它们的和与积)的解法；会解Ruler方程；会解两个未知函数的一阶常系数微分方程组；知道微分方程的幂级数解法；会用微分方程(或方程组)解一些重要实际的问题；演示与实验(五)。
5．向量代数和空间解析几何
理解向量的概念；掌握向量的的各种运算并了解相应的几何意义；掌握向量夹角的求法和向量平行、垂直的条件；理解空间直角坐标系的概念；熟悉向量、单位向量和方向余弦的坐标表示；熟练掌握用坐标进行向量各种运算的方法；熟悉平面和直线的各种方程及其求法；了解曲面方程的概念；了解常用二次曲面的方程和图形，会求绕坐标轴的旋转面和以坐标轴为母线的柱面的方程；了解空间曲线的参数方程和一般方程；了解空间曲线在坐标平面上的投影并会求方程；演示与实验(六)。
6．多元函数微分学
理解多元函数的概念；知道二元函数的极限、连续的概念和有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数、方向导数和全微分的概念，了解梯度的概念，并了解它们之间的关系和计算法；掌握复合函数 (包括隐函数)一、二阶偏导数的求法；了解全微分存在的充分条件扣必要条件；了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，并会求它们的方程；知道二元函数Taylor公式；理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值和用Lagrange乘数法求条件极值并能应用它求简单的实际问题；演示与实验(七)。
7．多元函数积分学
理解重积分的概念；了解重积分的性质；掌握二重积分(直角坐标、极坐标)和三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)的计算方法；演示与实验(八)；理解两类曲线积分的概念并了解它们的性质和关系；掌握两类曲线积分的计算方法；熟悉Green公式的形式和意义；会应用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数；会解全微分方程和某些有简单积分因子的微分方程；曲面的参数方程；了解两类曲面积分的概念、性质和关系；了解Gauss公式和Stokes公式的形式和意义并应用于计算，知道Gauss公式(以及Green公式)的向量形式；知道散度和旋度的概念和计算；会应用重积分、曲面积分和曲线积分解决几何上、物理上的有关问题；演示与实验(九)。
8．无穷级数
理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解级数的基本性质和收敛必要条件；熟悉几何级数和p级数的收敛性；掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法(尤其是比值法)；掌握交错级数的Leibniz定理；了解级数绝对收敛和条件收敛的概念以及它们的关系；了解函数项级数的收敛、收敛域以及和函数的概念；掌握幂级数收敛半径和收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间的基本性质并能由此求出某些幂级数的和函数；知道函数展开为Taylor级数的充要条件，掌握ex、sinx、cosx、ln(1+x)和ln(1-x)的Maclaurin展开式，并能利用它们将一些简单函数展开为幂级数；会用幂级数进行简单的近似计算；了解Fourier级数的概念和函数逆行Fourier展开的充分条件(Circlet定理)，并能将定义在[-L，L]上的函数展开为Fourier级数和将定义在[0，1]上的函数展开为正弦或余弦级数，能写出某些Fourier级数的和函数；演示与实验(十)。
三、对学生能力培养的要求
1．课内教学活动中能力培养的要求：
通过课内知识的传授以及课内“演示与实验”，逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力空间想象能力。
2．课外科技活动和社会实践教学活动中能力培养的安排及要求：
通过做小课题(project)培养学生综合运用所学的知识，在科技活动和社会实践教学活动中建立初步“数学模型”的思想，提高动手能力、分析实际问题和解决问题的能力。
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